Noderīgi padomi

Pitagora teorēma

Pitagora teorēma savieno taisnā leņķa trīsstūra trīs malas ar vienu formulu, kas joprojām tiek izmantota mūsdienās. Teorēma saka, ka taisnleņķa trīsstūrī kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzes kvadrātu: a 2 + b 2 = c 2 , kur a un b ir trīsstūra kājas (malas krustojas taisnā leņķī), c ir trijstūra hipotenūza. Pitagora teorēma ir izmantojama daudzos gadījumos, piemēram, izmantojot šo teorēmu, ir viegli atrast attālumu starp diviem punktiem koordinātu plaknē.

Nodarbības prezentācija

Uzmanību! Slaida priekšskatījums tiek izmantots tikai informatīvos nolūkos, un tas, iespējams, nesniedz priekšstatu par visām prezentācijas funkcijām. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Nodarbības mērķis: Pitagora teorēmas izpēte un piemērošana.

Uzdevumi:

  • Iepazīstināt skolēnus ar Pitagoras dzīvi, viņa skolu.
  • Pierādiet teorēmu un parādiet dažādas pierādīšanas metodes.
  • Parādiet teorēmas pielietojumu dzīvē
    (studentu īsie projekti).
  • Attīstīt studentu loģisko domāšanu, patstāvību un iztēli.
  • Uzturēt interesi par tēmu.

Iekārtas un materiāli: multimediju projektors, personālais dators, mācību grāmata, izdales materiāls, stundas prezentācija un studentu flash projekti.
Nodarbības īpatnība ir tā, ka tās pamatā ir studentu, izmantojot datoru, flash projekti.

Jā, zināšanu ceļš nav gluds.
Bet mēs zinām no skolas gadiem,
Puzļu ir vairāk nekā pavedienu
Un meklējumiem nav ierobežojumu! ”

1. Samosa pitagors un teorēmas pierādīšanas vēsture (5 minūtes) (5.-9. Slaids)

Slavenais grieķu filozofs un matemātiķis Pitagors Samos, kura vārdu sauc par teorēmu, dzīvoja apmēram pirms 2,5 tūkstošiem gadu. Biogrāfiskā informācija par Pitagoru, kas mūs ir sasniegusi, ir fragmentāra un nebūt nav uzticama. Ar viņa vārdu ir saistītas daudzas leģendas.
Ir ticami zināms, ka Pitagors daudz ceļoja pa Austrumu valstīm, apmeklēja Ēģipti, Indiju un Babilonu, pētīja seno kultūru un zinātnes sasniegumus dažādās valstīs. Atgriezies dzimtenē, Pitagors no aristokrātijas pārstāvjiem organizēja jauniešu loku, kur pēc ilgiem pārbaudījumiem viņus pieņēma ar lielām ceremonijām.
Pirmās dotās lekcijas rezultātā Pitagors ieguva 2000 studentus, kuri neatgriezās mājās, un kopā ar sievām un bērniem izveidoja milzīgu skolu. Pitagora teorēma un Pitagora skola visā vēsturē apbrīno cilvēci, tās ir veltītas dzejoļiem, dziesmām, zīmējumiem, gleznām. Tātad mākslinieks F.A. Bronņikovs (1827-1902) gleznoja gleznu "Pitagora himna uzlecošajai saulei"
Par godu Samosas salas pārdēvēšanai par Pitagorsijas salu Grieķijā tika izdota pastmarka.
Uz spiedoga ir uzraksts: “Pitagora teorēma. Ellas. 350 drāmas. "
Šis skaistais zīmols ir gandrīz vienīgais starp daudziem tūkstošiem esošo, kas attēlo matemātisku faktu Pitagors - Tas nav vārds, bet segvārds, kuru filozofs saņēma par vienmēr pareizu un pārliecinošu runāšanu, piemēram, grieķu orākuls. (Pitagors - "pārliecinošs ar runu.")
Pastāv leģenda, kas apgalvo, ka, pierādījis savu slaveno teorēmu, Pitagors upurēja vērsmi dieviem, un saskaņā ar citiem avotiem, pat 100 buļļus.

2. Dažādi Pitagora teorēmas formulējumi, kas tulkoti no grieķu, latīņu un vācu valodas (3 minūtes) (10.-16. Slaids)

Eiklīdā šī teorēma norāda (burtiskais tulkojums):
"Taisnstūra trijstūrī sānu kvadrāts, kas izstiepts virs taisna leņķa, ir vienāds ar kvadrātu sānos, kas apņem taisnu leņķi."

Kreipānas Gerharda (12. gadsimta sākums) tulkojumā no Annairitzi (aptuveni 900. g. Pirms mūsu ēras) arābu valodas teksta tulkojums latīņu valodā skan šādi:
"Jebkurā taisnleņķa trīsstūrī kvadrāts, kas izveidots pusē, kas izstiepts virs taisnā leņķa, ir vienāds ar divu kvadrātu summu, kas izveidoti no abām pusēm, apņemot taisnu leņķi."
Geometria Culmonensis (aptuveni 1400) teorēma ir šāda:
Arī wird das vierecke Feld, gemessen an der langen Wand, tātad arī bruto ist als bei beide Vierecke, bei zwei werden gemessen von den zwei Wanden des deren, bei zwei gemeinde, tretten in dem rechten Winkel. Tulkojumā tas nozīmē:
"Tātad kvadrāta laukums, mērot gar garo malu, ir tikpat liels kā divi kvadrāti, kurus mēra divās tā pusēs, blakus taisnajam leņķim."
Mūsdienu Pitagora teorēmas formulējums "Taisnstūra trijstūrī hipotenūza kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu."

3. Pitagora teorēmas pierādījums (5 minūtes) (17.-20. Slaids)

Pierādījums:

1. (a + b) 2 = 4S+ c 2
2. 4S= 4 · 1/2 ab = 2 ab
3. bet 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2
4. bet 2 + b 2 = c 2

Viduslaiku studenti Pitagora teorēmas pierādīšanu uzskatīja par ļoti grūtu un sauca to par Dons asinorum - ēzeļa tiltsvai elefuga - "nožēlojamo" lidojums jo daži “nožēlojami” studenti, kuriem nebija nopietnas matemātikas mācības, aizbēga no ģeometrijas. Vājie studenti, kuri teorijas iegaumēja pēc sirds patikas, bez izpratnes un kurus tā dēvēja par “ēzeļiem”, nespēja pārvarēt Pitagora teorēmu, kas viņiem kalpoja par neatvairāmu tiltu.

4. Dažādu teorēmas pierādīšanas metožu piemēri (5 minūtes) (21.-29. Slaids)

Kopš seniem laikiem matemātiķi ir atraduši arvien vairāk Pitagora teorēmas pierādījumu, arvien vairāk jaunu ideju tās pierādījumiem. Šādi pierādījumi - vairāk vai mazāk stingri, vairāk vai mazāk acīmredzami - ir zināmi vairāk nekā pusotrs simts (saskaņā ar citiem avotiem, vairāk nekā pieci simti), taču vēlme palielināt to skaitu ir saglabājusies. Tāpēc Pitagora teorēma ir iekļauta Ginesa rekordu grāmatā.

  • Seno ķīniešu pierādījumi.
  • Eiklida pierādījums.
  • Valdheima pierādījums
  • Hawkins pierādījums.
  • Gutheil pierādījums.
  • Perigal pierādījums.
  • Pierādījums, kas balstīts uz līdzības teoriju.
  • Hipokrāta caurumi.
  • Ķīniešu pierādījumi, 1670. gads
  • Pierādījums no Bhaskara darbiem.
  • Pierādījums ir modelis (video).

5. Pitagora teorēmas pielietošanas piemēri praksē (18 minūtes) (30.-31. Slaids)

Pitagors ir ievērojams ar to, ka tas ir vienkāršs, bet nav acīmredzams. Šī divu konfliktējošo principu kombinācija un piešķir tai īpašu pievilcīgu spēku, padara to skaistu. Bet turklāt Pitagora teorēmai ir liela praktiska nozīme: tā tiek pielietota ģeometrijā katrā solī.Pitagora teorēma ir viena no vissvarīgākajām ģeometrijas teorēmām. Lielāko daļu teorēmu var izsecināt no tās vai ar tās palīdzību. Pati teorēma

  • planimetrijā
  • stereometrijā
  • arhitektūrā
  • būvniecībā
  • fizikā
  • astronomijā
  • literatūrā

Planimetrijā:

1. Kvadrāts ar sāniem bet un pa diagonāli d.

Apsveriet Pitagora teorēmas pielietojumu, lai atrastu kvadrāta diagonāli ar malu bet.
Pēc Pitagora teorēmas hipotenūzes kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu, tad d 2 = a 2 + a 2 no: d 2 = 2a 2 d = bet 2

2. Taisnstūra diagonāli ar malām a un b aprēķina līdzīgi kā tiek aprēķināta taisnstūra ar kājām hipotenūza a un b.
Pēc Pitagora teorēmas: d 2 = a 2 + b 2

Apsveriet piemēru taisnstūra diagonāles aprēķināšanai ar malām 5 cm un 12 cm.

3. Augstums h vienādmalu trīsstūris ar malu bet var uzskatīt par taisna trīsstūra kāju, kuras hipotenūza betun vēl viena ķete a/ 2. Tādējādi saskaņā ar Pitagora teorēmu

bet 2 = h 2 + (1/2a) 2
h 2 = a 2 – (1/2a) 2 h = 1/2a3

Apsveriet piemēru, kā aprēķināt augstumu garumā vienādmalu trīsstūrī ar sānu 4 cm.

Stereometrijā:

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonālā garuma aprēķins

Arhitektūrā:

Gotu un romāņu stila ēkās logu augšējās daļas ir sadalītas ar akmens ribām, kas ne tikai spēlē rotājuma lomu, bet arī veicina logu stiprību. Attēlā parādīts vienkāršs šāda loga piemērs gotikas stilā.
Veids, kā to uzbūvēt, ir ļoti vienkāršs: no attēla ir viegli atrast sešu apļu loka centrus, kuru rādiuss ir vienāds ar loga platumu (b) ārējiem lokiem un puse platuma (b/ 2), iekšējiem lokiem. Paliek vesels aplis, kas pieskaras četrām loka. Tā kā tas ir norobežots starp diviem koncentriskiem apļiem, tā diametrs ir vienāds ar attālumu starp šiem apļiem, t.i. bUn 2 rādiuss ir b/ 4. Un tad tā centra pozīcija kļūst skaidra. Apskatītajā piemērā rādiuss bija bez jebkādām grūtībām. Citos līdzīgos piemēros var būt nepieciešami aprēķini; mēs parādām, kā Pitagora teorēma tiek izmantota šādās problēmās.
Romāņu stila arhitektūrā bieži atrodams attēlā redzamais motīvs. Ja b joprojām apzīmē loga platumu, tad pusloku rādiuss būs vienāds ar R = b/ 2 un r = b/ 4. Rādiuss lpp iekšējo apli var aprēķināt no labā trīsstūra, kas parādīts 3. att. punktēta līnija. Šī trijstūra hipotenūza, kas iet caur apļu pieskares punktu, ir b/4 + lpp, viena kāja ir vienāda b/ 4 un otrs b/2 – lpp.
Pēc Pitagora teorēmas mums ir: (b/4 + lpp) 2 = (b/4) 2 + (b/2 – lpp) 2
Pēc vienādojuma atrisināšanas ir viegli atrast iekšējā loka rādiusu lpp = b/6

Būvniecībā:

Varbūt kāds Pitagora teorēmas piemērošanu uzskatīs par tīri teorētisku. Bet tas tā nav. Ja, piemēram, par torņa jumtu mēs uzskatām trīsstūrveida prizmu, tad mūsu pirmajā jautājumā mēs runājam par to, cik ilgi ir jāizgatavo sānu ribas, lai noteiktais jumta augstums tiktu uzturēts noteiktā mansarda apgabalā. Ņemiet vērā, ka jumta platības aprēķināšanu var ievērojami vienkāršot, ja izmantojat vienu ļoti vienkāršu noteikumu, kas ir spēkā visos gadījumos, kad visiem jumta nogāzēm, neatkarīgi no tā, cik to ir, ir vienāds slīpums. Tas skan šādi:
Lai atrastu divslīpju jumta virsmas laukumu, kura visām nogāzēm ir vienāds slīpums, jums ir jāreizina mansarda laukums. Sh līdz spāru garumam un daliet ar pusi no mājas platuma.
Piemēram, jebkuras konstrukcijas būvniecības laikā tiek aprēķināti attālumi, smaguma centri, balstu, siju izvietojums utt. Kopumā teorēmas nozīme, izņemot iepriekš minēto, ir tā, ka tā tiek izmantota gandrīz visās mūsdienu tehnoloģijās, kā arī paver iespējas jaunu radīšanai un izgudrošanai.

Fizikā:

Zibensnovedējs, zibensnovedējs, ierīce ēku, rūpniecības, transporta, komunālo pakalpojumu, lauksaimniecības aizsardzībai. un citas konstrukcijas no zibens spērieniem.
Ir zināms, ka zibens stienis aizsargā visus objektus no zibens, kuru attālums no pamatnes nepārsniedz tā dubultā augstumu. Ir jānosaka zibens stieņa optimālais novietojums uz divslīpu jumta, nodrošinot tā zemāko pieejamo augstumu.

  • Pēc Pitagora teorēmas h 2 >a 2 + b 2 ,
  • nozīmē h>a 2 + b 2

Astronomijā:

Deviņpadsmitā gadsimta beigās tika izdarīti dažādi pieņēmumi par to, ka Marsa iedzīvotāji eksistē tāpat kā cilvēki. Tas bija itāļu astronoma Šiaparelli atklājumu rezultāts (viņš uz Marsa atklāja kanālus, kas ilgu laiku tika uzskatīti par mākslīgiem) un citiem.Protams, ka jautājums par to, vai ir iespējams izskaidrot šīs hipotētiskās radības, izmantojot gaismas signālus, izraisīja dzīvu diskusiju. Parīzes Zinātņu akadēmija pat nodibināja prēmiju 100 000 franku apmērā pirmajiem, kas nodibināja kontaktus ar kādu cita debess ķermeņa iemītnieku, šī balva joprojām gaida veiksminieku. Kā joks, kaut arī tas nav pilnīgi nepamatots, tika nolemts Marsa iedzīvotājiem nodot Gaismas signālu Pitagora teorēmas formā.
Nav zināms, kā to izdarīt, taču visiem ir acīmredzams, ka Pitagora teorēmas izteiktais matemātiskais fakts notiek visur, un tāpēc tādas citas pasaules iedzīvotājiem kā mums vajadzētu saprast šādu signālu.

Literatūrā:

Daudzi ar vārdu Pitagors atsauc atmiņā viņa teorēmu, bet tikai daži cilvēki zina, ka viņš bija saistīts ne tikai ar matemātiku, bet arī ar literatūru.
Lielais matemātiķis bija arī lielisks sava laika filozofs.
Šeit ir daži no viņa izteikumiem:

  • Veicot lieliskus darbus, nesola lieliski.
  • Lai cik īsi nebūtu vārdi “jā” un “nē”, tie joprojām prasa visnopietnākās pārdomas.
  • Nedariet neko apkaunojošu ne citu klātbūtnē, ne slepeni.
  • Jūsu pirmajam likumam vajadzētu būt pašcieņai
  • Neaizveriet acis, kad vēlaties gulēt, nesaprotot visas savas darbības pagājušajā dienā.
  • Neejiet pa netīrumu ceļu.

Pitagora teorēma jau sen ir plaši izmantota dažādās zinātnes, tehnoloģiju un praktiskās dzīves jomās.
Romiešu arhitekts un inženieris Vitruviuss, grieķu morāles rakstnieks o Plutarhs, 3. gadsimta grieķu zinātnieks, rakstīja par viņu savos darbos. Diogenes Laertius, 5. gadsimta matemātiķis Proclus un daudzi citi.
Leģenda, ka par godu viņa atklājumam Pitagors upurēja vērsi vai, kā citi saka, simts buļļus, kalpoja par iemeslu humoram rakstnieku stāstos un dzejnieku dzejoļos. Tā, piemēram, vācu romāns A. Chamisso, kurš XIX gadsimta sākumā. piedalījās pasaules kuģa braucienā pa krievu kuģi "Rurik", rakstīja šādus pantus:

Patiesība ir mūžīga, cik drīz
Vāja persona viņu zina!
Un tagad Pitagora teorēma
Tiesa, tāpat kā tālajā vecumā.
Upuru bija daudz
Dieviem no Pitagoras. Simt buļļiem
Viņš atdeva burvestību un dedzināšanu
Aiz gaismas starojums, kas nāk no mākoņiem.
Tāpēc vienmēr kopš tā laika
Dzimst maza patiesība
Buļļi rēc, sajūtot viņu pēc.
Viņi nevar traucēt gaismu.
Un viņi tikai, aizverot acis, var drebēt
Baidoties, ka Pitagors viņus ieaudzināja.

6. Leģenda par Pitagora nāvi

Nakts miegaino klusumu Metapont pārņēma briesmīgs kliedziens. Tur bija smags ķermenis, kas nokrita uz zemes, sprādziena aizskrējušās kājas, un viss apklusa. Kad naktssargs ieradās notikuma vietā, mirgojošā lāpu gaismā, visi redzēja, kā uz zemes izklīst vecs vīrietis, un netālu no viņa bija 12 gadus vecs zēns ar šausmām savītu seju.
- Kas tas ir? - apsardzes priekšnieks jautāja zēnam
"Tas ir Pitagors," viņš atbildēja.
- Kas ir Pitagors? Pilsētas iedzīvotāju vidū nav neviena pilsoņa ar šādu vārdu.
- Nesen ieradāmies no Krotonas. Manam saimniekam nācās slēpties no ienaidniekiem un aizbraucu tikai naktī. Viņi viņu izsekoja un nogalināja.
- Cik tādu bija?
- Man nebija laika to pamanīt tumsā. Viņi mani iemeta malā un uzkliedza viņam. Apsardzes darbinieks nometās ceļos un uzlika rokas uz vecāka krūtīm.
"Beigas," sacīja priekšnieks.
“Prātam vien kā gudram aizbildnim būtu jāuztic sava dzīve”

7. Nodarbības apkopojums. Pārbaude (3 minūtes)

Studenti atbild uz jautājumiem:

  • Tagad es uzzināju, ka ...
  • Tagad es varu ...
  • Es nesapratu, kā ...
  • Es nezināju, ka ...
  • Tagad es to zinu

Pārbaude: (slaidi 32-34)

- Kuriem trijstūriem var pielietot Pitagora teorēmu?

Izvēlieties pareizo Pitagora teorēmas formulējumu:

  1. Trīsstūrī hipotenūzes kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu.
  2. Taisnā trīsstūrī hipotenūzes kvadrāts ir kāju summa.
  3. Taisnā trīsstūrī hipotenūza ir vienāda ar kāju kvadrātu summu.
  4. Taisnā trīsstūrī hipotenūzes kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu.

- Vai tā ir taisnība, ka taisnā trīsstūrī kāda no kājām ir mazāka nekā hipotenūza?

8. Mājas darbs (1 min.) (35–37. Slaids)

  1. Uzziniet teorēmas apgalvojumu
  2. Spēt pierādīt Pitagora teorēmu
  3. Uzziniet dzejoli

Izdales materiāls:

Ja mums tiek dots trīsstūris
Un turklāt ar taisnu leņķi
Tas ir hipotenūzes kvadrāts
Mēs vienmēr viegli atradīsim:
Mēs kvadrātveida kājas,
Mūsu atrasto grādu summa -
Un tik vienkāršā veidā
Mēs nonāksim pie rezultāta.

Saturs

Pēc matemātikas vēsturnieka Morica Kantora teiktā, senajā Ēģiptē karaļa Amenemhat I laikā (apmēram XXIII gadsimtā pirms mūsu ēras) tas bija zināms par taisnstūra trīsstūri ar malām 3, 4, 5 - to izmantoja harpedonapts - “virvju spriegotāji”. Senajā Babilonijas tekstā, kas datēts ar Hammurabi (XX gadsimts pirms mūsu ēras), dots aptuvens hipotenūzes aprēķins. Pēc van der Vērdera teiktā, ļoti iespējams, ka vispārīgās attiecības bija zināmas Babilonā jau ap 18. gadsimtu pirms mūsu ēras. e.

Senajā ķīniešu grāmatā "Zhou bi xuan jing", kas attiecināta uz V - III gadsimtu pirms mūsu ēras. piemēram, ir trīsstūris ar 3., 4. un 5. malu, turklāt attēlu var interpretēt kā teorēmas sakarības grafisko pamatojumu. Ķīniešu problēmu krājumā “Matemātika deviņās grāmatās” (X – II gadsimtā pirms mūsu ēras) teorēmas piemērošanai ir veltīta atsevišķa grāmata.

Ir vispārpieņemts, ka korelācijas pierādījumus sniedza sengrieķu filozofs Pitagors (570-490 BC). Par Proklamu (412-485 AD) ir pierādījumi, ka Pitagors izmantoja algebriskās metodes, lai atrastu Pitagora trīskāršos [⇨], bet nebija tiešu norāžu uz viņa autorības pierādījumiem piecus gadsimtus pēc Pitagora nāves. Tomēr, kad tādi autori kā Plutarhs un Cicerons raksta par Pitagora teorēmu, no satura izriet, ka Pitagora autorība ir labi zināma un noteikta. Pastāv leģenda, par kuru ziņo Diogenes no Laertes, saskaņā ar kuru Pitagors, iespējams, svinēja savas teorēmas atklāšanu ar milzu svētkiem, nodziedājis simts buļļus prieka pēc.

Ap 400 pirms mūsu ēras e., saskaņā ar Proklusa teikto, Platons sniedza metodi Pitagora trīskāršojumu atrašanai, apvienojot algebru un ģeometriju. Ap 300 BC e. Eiklida "pirmsākumos" parādījās vecākais Pitagora teorēmas aksiomatiskais pierādījums.

Galvenais formulējums satur algebriskas darbības - taisnā leņķveida trīsstūrī, kura kājas ir < displaystyle a> un b < displaystyle b>, un hipotenūza garums ir c < displaystyle c>, pastāv šāda saistība:

Ir iespējams arī ekvivalents ģeometriskais formulējums, izmantojot figūras laukuma jēdzienu: taisnleņķa trīsstūrī uz hipotenūzes konstruēta kvadrāta laukums ir vienāds ar kājām uzcelto kvadrātu kvadrātu summu. Šajā formā teorēma ir formulēta Eiklida principos.

Zinātniskajā literatūrā ir ierakstīti vismaz 400 Pitagora teorēmas pierādījumi, ko izskaidro gan ar ģeometrijas pamatvērtību, gan ar rezultāta elementāro raksturu. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия

  • [⇨] ), метод площадей
  • [⇨] , существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

    Доказательство Евклида Править

    Eiklida klasiskā pierādījuma mērķis ir noteikt laukumu vienlīdzību starp taisnstūriem, kas izveidoti, sadalot kvadrātu virs hipotenūzes no augstuma no taisna leņķa ar kvadrātiem virs kājām.

    Tādējādi pierādījums nosaka, ka kvadrāta laukums virs hipotenūzes, ko veido taisnstūri A H J K < displaystyle AHJK> un B H J I < displaystyle BHJI>, ir vienāds ar kvadrātu summu virs kājām.

    Caur līdzīgu trīsstūru kvadrātiem

    Šie pierādījumi ir balstīti uz faktu, ka šādu trīsstūru laukumus apzīmē kā attiecīgo malu kvadrātus.

    laukums D B A laukums A B C = A B 2 B C 2. < displaystyle < frac << teksts<площадь>>

    Tādā pašā veidā mēs iegūstam

    laukums D A C laukums A B C = A C 2 B C 2. < displaystyle < frac << teksts<площадь>>

    Līdzīgas ģeometriskas formas no trim pusēm

    Svarīgu Pitagora teorēmas ģeometrisko vispārinājumu Euklids sniedza Savos sākumos, pārejot no kvadrātu kvadrātiem sānos uz patvaļīgi līdzīgu ģeometrisku figūru kvadrātu: uz kathetiti uzbūvētu šādu figūru kvadrātu summa būs vienāda ar līdzīgu hipotenuzā konstruētas figūras laukumu.

    Šī vispārinājuma galvenā ideja ir tāda, ka šādas ģeometriskas figūras laukums ir proporcionāls jebkura tā lineārā lieluma kvadrātam un, it īpaši, ar katras puses garuma kvadrātu. Tāpēc šādiem attēliem ar laukumiem A < displaystyle A>, B < displaystyle B> un C < displaystyle C> ir uzceltas kājas ar garumu a < displaystyle a> un b < displaystyle b> un hipotenūza c < displaystyle c> attiecīgi, sakarība ir šāda:

    Papes apgabala teorēmas rediģēšana

    Pappe apgabala teorēmu, kas ļauj patvaļīgam trīsstūrim un patvaļīgām paralelogrammām no abām pusēm konstruēt paralelogrammu no trešās puses tā, lai tās laukums būtu vienāds ar divu doto paralelogrammu laukumu summu, var uzskatīt arī par Pitagora teorēmas vispārinājumu: gadījumā, ja sākotnējais trīsstūris Ir taisnstūrveida, un kvadrāti tiek doti kā paralelogramas uz kājām, uz hipotenūzes konstruētais kvadrāts izrādās atbilst Papa apgabala teorēmas nosacījumiem.

    Daudzdimensiju vispārinājumi Rediģēt

    Pitagora teorēmas trīsdimensiju eiklīdiskā telpā vispārinājums ir de Gua teorēma: ja tetraedram ir taisns leņķis, tad sejas laukuma kvadrāts, kas atrodas pretī taisnajam leņķim, ir vienāds ar pārējo trīs seju laukumu kvadrātu summu. Šo secinājumu var arī vispārināt kā “n-dimensijas Pitagora teorēmu” augstākas dimensijas eiklidiālajām telpām - ortogonālai n < displaystyle n> - dimensiju simplekss ar laukumiem S 1, ..., S n < displaystyle S_ <1>, punkti, S_> taisnstūra un pretējā virsma ar laukumu S 0 < displaystyle S_ <0>> attiecība ir izpildīta:

    Vēl viens daudzdimensionāls vispārinājums rodas no taisnstūra paralēles izgriezuma diagonāles kvadrāta garuma atrašanas problēmas: lai to aprēķinātu, Pitagora teorēma jāpiemēro divreiz, kā rezultātā tā būs trīs paralēlu rāmju blakus esošo malu kvadrātu garumu summa. Parasti n < displaystyle n> dimensijas taisnstūrveida kastes ar blakus esošajām malām ar garumu a 1, ..., a n < displaystyle a_ <1>, punkti, a_ pa diagonālo garumuir:

    tāpat kā trīsdimensiju gadījumā, rezultāts ir konsekventa Pitagora teorēmas piemērošana taisnleņķa trīsstūriem perpendikulārās plaknēs.

    Pitagora teorēmas vispārinājums par bezgalīgu dimensiju telpā ir Parseval vienlīdzība.

    Ne-Eiklīda ģeometrija Rediģēt

    Pitagora teorēma ir atvasināta no Eiklīda ģeometrijas aksiomām un nav derīga ne-Eiklīda ģeometrijai - Pitagora teorēmas piepildījums ir ekvivalents Eiklida paralēlisma postulātam.

    Ģeometrijā, kas nav Eiklida ģeogrāfija, taisnstūra taisnstūra malas vienmēr būs tādā formā, kas atšķiras no Pitagora teorēmas. Piemēram, sfēriskajā ģeometrijā visas trīs taisnā trīsstūra malas, kas ierobežo vienības sfēras oktantu, ir π / 2 < displaystyle pi / 2>, kas ir pretrunā ar Pitagora teorēmu.

    Turklāt Pitagora teorēma ir derīga hiperboliskajā un eliptiskajā ģeometrijā, ja trijstūra taisnstūra prasību aizstāj ar nosacījumu, ka trijstūra divu leņķu summai jābūt vienādai ar trešo.

    Noskatieties video: Pitagora teorēma. Kā to pierādīt ? (Februāris 2020).