Noderīgi padomi

Kā atrisināt lineāros vienādojumus?

Pin
Send
Share
Send
Send


Šajā video mēs analizēsim visu lineāro vienādojumu kopumu, kas tiek atrisināts ar vienu un to pašu algoritmu - tieši tāpēc tos sauc par vienkāršākajiem.

Sākumā mēs noteiksim: kas ir lineārais vienādojums un kurš tos sauks par vienkāršākajiem?

- tāds, kurā ir tikai viens mainīgais un tikai līdz pirmajai pakāpei.

Ar vienkāršāko vienādojumu tiek domāta konstrukcija:

Visi pārējie lineārie vienādojumi tiek samazināti līdz vienkāršākajiem, izmantojot algoritmu:

  1. Paplašiniet iekavas, ja tādas ir,
  2. Pārnest terminus, kas satur mainīgo, vienādas zīmes vienā pusē, un terminus bez mainīgā uz otru,
  3. Dodiet līdzīgus apzīmējumus pa kreisi un pa labi no vienādības zīmes,
  4. Iegūto vienādojumu daliet ar koeficientu mainīgajam $ x $.

Protams, šis algoritms ne vienmēr palīdz. Fakts ir tāds, ka dažreiz pēc visām šīm krāpšanām koeficients ar mainīgo $ x $ izrādās nulle. Šajā gadījumā ir iespējamas divas iespējas:

  1. Vienādojumam vispār nav risinājumu. Piemēram, kad jūs saņemat kaut ko tādu kā USD 0 cdot x = 8 $ garā, t.i. nulle ir kreisajā pusē, un skaitlis, kas nav nulle, labajā pusē. Zemāk esošajā videoklipā mēs apsvērsim vairākus iemeslus uzreiz, kuru dēļ šāda situācija ir iespējama.
  2. Risinājums ir visi skaitļi. Vienīgais gadījums, kad tas ir iespējams, ir tāds, ka vienādojums tika samazināts līdz konstrukcijai $ 0 cdot x = 0 $. Loģiski, ka neatkarīgi no tā, ko mēs aizstājam ar $ x $, tas joprojām izrādīsies “nulle ir nulle”, t.i. patiesa skaitliska vienlīdzība.

Tagad redzēsim, kā tas viss darbojas uz reālu uzdevumu piemēra.

Vienādojumu risināšanas piemēri

Šodien mums ir darīšana ar lineārajiem vienādojumiem, un tikai ar visvienkāršākajiem. Parasti lineārs vienādojums nozīmē jebkuru vienādību, kas satur tieši vienu mainīgo, un tā iet tikai pirmajā pakāpē.

Šādi dizaini tiek risināti aptuveni vienādi:

  1. Pirmkārt, jums ir jāatver iekavas, ja tādas ir (kā mūsu pēdējā piemērā),
  2. Tad savest kopā
  3. Visbeidzot, izolējiet mainīgo, t.i. viss, kas saistīts ar mainīgo, - vārdi, kuros tas ir ietverts - jāpārceļ uz vienu pusi, un viss, kas paliek bez tā, jāpārceļ uz otru pusi.

Tad, kā likums, ir jāsniedz līdzības katrā iegūtās vienlīdzības pusē, un pēc tam atliek tikai dalīt ar koeficientu “X”, un mēs iegūsim galīgo atbildi.

Teorētiski tas izskatās skaisti un vienkārši, taču praksē pat pieredzējuši vidusskolēni diezgan vienkāršos lineārajos vienādojumos var pieļaut aizskarošas kļūdas. Parasti kļūdas tiek pieļautas, atverot iekavās, vai aprēķinot “plusus” un “mīnusus”.

Turklāt gadās, ka lineārajam vienādojumam vispār nav risinājumu vai arī tā, ka risinājums ir visa skaitļa līnija, t.i. jebkurš skaitlis. Šos smalkumus analizēsim šodienas nodarbībā. Bet mēs sāksim, kā jūs jau sapratāt, ar visvienkāršākajiem uzdevumiem.

Kā izlemt?

Lineārā vienādojuma atrisināšana nozīmē atrast, ar ko mainīgais ir vienāds. Kā to izdarīt? Jā, ļoti vienkārši - izmantojot vienkāršas algebriskas operācijas un ievērojot pārsūtīšanas noteikumus. Ja vienādojums parādījās pirms jums vispārīgā veidā, jums paveicas, viss, kas jādara:

  1. Pārvietojiet b uz vienādojuma labo pusi, neaizmirstot mainīt zīmi (pārsūtīšanas noteikums!), Tāpēc no formas ax + b = 0 izteiksmes jums vajadzētu iegūt formas izteiksmi: ax = -b.
  2. Piemērojiet noteikumu: lai atrastu vienu no faktoriem (x - mūsu gadījumā), jums ir jāsadala produkts (mūsu gadījumā - b) ar citu koeficientu (a - mūsu gadījumā). Tādējādi jāiegūst formas izteiksme: x = -b / a.

Tas arī viss - risinājums ir atrasts!

Tagad apskatīsim konkrētu piemēru:

  1. 2x + 4 = 0 - pārsūtīšana b, šajā gadījumā vienāda ar 4, pa labi
  2. 2x = –4 - daliet b ar a (neaizmirstiet par mīnusa zīmi)
  3. x = –4/2 = –2

Tas ir viss! Mūsu risinājums: x = –2.

Kā redzat, lineārā vienādojuma risinājumu ar vienu mainīgo ir diezgan vienkārši atrast, bet viss ir tik vienkārši, ja mums paveicas izpildīt vienādojumu vispārējā formā. Vairumā gadījumu pirms vienādojuma atrisināšanas divos iepriekš aprakstītajos posmos joprojām ir nepieciešams esošo izteiksmi pārveidot vispārējā formā. Tomēr tas arī nav biedējošs uzdevums. Apskatīsim dažus īpašus gadījumus ar piemēriem.

Īpašu gadījumu lēmums

Vispirms analizēsim gadījumus, kurus mēs aprakstījām raksta sākumā, un izskaidrosim, ko nozīmē bezgalīgs risinājumu skaits un to neesamība.

  • Ja a = b = 0, vienādojums izskatīsies šādi: 0x + 0 = 0. Veicot pirmo soli, iegūstam: 0x = 0. Ko nozīmē šīs muļķības, tevi iesauc! Galu galā neatkarīgi no tā, kuru numuru jūs reizināt ar nulli, jūs vienmēr saņemat nulli! Pareizi! Tāpēc viņi saka, ka vienādojumam ir bezgalīgs risinājumu skaits - neatkarīgi no tā, kuru numuru jūs ņemsit, vienlīdzība būs patiesa, 0x = 0 vai 0 = 0.
  • Ja a = 0, b ≠ 0, vienādojums izskatās šādi: 0x + 3 = 0. Veiciet pirmo soli, mēs iegūstam 0x = -3. Muļķības atkal! Acīmredzot šī vienlīdzība nekad nebūs taisnība! Tāpēc viņi saka - vienādojumam nav risinājumu.
  • Ja a ≠ 0, b = 0, vienādojums izskatās šādi: 3x + 0 = 0. Veicot pirmo soli, iegūstam: 3x = 0. Kāds risinājums? Tas ir viegli, x = 0.

Tulkošanas grūtības

Aprakstītie īpašie gadījumi vēl nav visi, ar kuriem lineārie vienādojumi mūs var pārsteigt. Dažreiz vienādojumu no pirmā acu uzmetiena parasti ir grūti noteikt. Analizēsim piemēru:

Vai tas ir lineārs vienādojums? Bet kā ir ar nulli labajā pusē? Mēs nesteidzīsimies ar secinājumiem, mēs rīkosimies - mēs visus vienādojuma komponentus pārnesīsim pa kreisi. Mēs iegūstam:

Tagad atņemot līdzīgus no līdzīgiem, mēs saņemam:

Vai jūs uzzinājāt? Lineārākais vienādojums! Kurš risinājums: x = 20/10 = 2.

Bet kā būtu, ja mums būtu šāds piemērs:

Jā, tas ir arī lineārs vienādojums, ir jāveic tikai vairāk transformāciju. Vispirms atveriet iekavas:

  1. (12 (x + 2) / 3) + 12x = 12 - 36x / 4
  2. 4 (x + 2) + 12x = 12 - 36x / 4
  3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - tagad mēs veicam pārsūtīšanu:
  4. 25x - 4 = 0 - atliek atrast risinājumu pēc jau zināmās shēmas:
  5. 25x = 4,
  6. x = 4/25 = 0,16

Kā redzat, viss ir atrisināts, galvenais ir nevis neuztraukties, bet rīkoties. Atcerieties, ja vienādojumā ir tikai pirmās pakāpes un skaitļa mainīgie, jums ir lineārs vienādojums, kuru neatkarīgi no tā, kā tas sākotnēji izskatās, var iegūt vispārīgā formā un atrisināt. Mēs ceram, ka jums izdosies! Lai veicas

Saturs

Viena mainīgā lineāro vienādojumu var reducēt šādā formā:

Risinājumu skaits ir atkarīgs no parametriem a un b.

Var attēlot divu mainīgo lineāro vienādojumu:

Lēmums, vai sakņojas, šādu vienādojumu sauc par tādu mainīgu vērtību pāri (x, y) < displaystyle (x, y)>, kas pārvērš to par identitāti. Pastāv bezgalīgs skaits lineārā vienādojuma ar diviem mainīgiem risinājumiem (saknēm). Šāda vienādojuma ģeometriskais modelis (grafiks) ir līnija y = k x + m < displaystyle y = kx + m>.

Vienkāršāko lineāro vienādojumu risināšanas shēma

Sākumā ļaujiet man vēlreiz uzrakstīt visu shēmu vienkāršāko lineāro vienādojumu risināšanai:

  1. Mēs atveram kronšteinus, ja tādi ir.
  2. Mēs izolējam mainīgos, t.i. viss, kas satur "X", tiek pārvietots vienā virzienā, bet otrā - bez "X".
  3. Mēs sniedzam līdzīgus nosacījumus.
  4. Visu izdalām ar koeficientu “X”.

Protams, šī shēma ne vienmēr darbojas, tai ir noteiktas smalkumi un triki, un tagad mēs tos iepazīsim.

Mēs risinām vienkāršu lineāru vienādojumu reālus piemērus

Pirmajā solī mums tiek prasīts atvērt iekavas. Bet viņi nav šajā piemērā, tāpēc mēs izlaižam šo posmu. Otrajā posmā mums ir jānošķir mainīgie. Lūdzu, ņemiet vērā: mēs runājam tikai par individuāliem noteikumiem. Rakstīsim:

Mēs sniedzam līdzīgus noteikumus kreisajā un labajā pusē, bet šeit tas jau ir izdarīts. Tāpēc mēs pārejam uz ceturto soli: dalām ar koeficientu:

Tātad, mēs saņēmām atbildi.

[5 pa kreisi (x + 9 pa labi) = 5x + 45 ]

Veicot šo uzdevumu, mēs varam novērot iekavas, tāpēc paplašināsim tās:

Gan kreisajā, gan labajā pusē mēs redzam aptuveni vienādu konstrukciju, bet darbosimies pēc algoritma, t.i. mēs atdalām mainīgos:

Kādas ir šī saknes? Atbilde: jebkuram. Tāpēc mēs varam rakstīt, ka $ x $ ir jebkurš skaitlis.

Trešais lineārais vienādojums jau ir interesantāks:

[ pa kreisi (6-x pa labi) + pa kreisi (12 + x pa labi) - pa kreisi (3–2 x pa labi) = 15 ]

Šeit ir vairākas iekavas, bet tās ne ar ko nepareizina, tām vienkārši priekšā ir dažādas zīmes. Atklājam tos:

Mēs veicam jau zināmo otro soli:

Mēs veicam pēdējo soli - visu izdalām ar koeficientu “X”:

Kas jums jāatceras, risinot lineāros vienādojumus

Ja mēs novēršam uzmanību no pārāk vienkāršiem uzdevumiem, es gribētu pateikt sekojošo:

  • Kā es teicu iepriekš, ne katram lineārajam vienādojumam ir risinājums - dažreiz vienkārši nav sakņu,
  • Pat ja ir saknes, starp tām var tikt notīrīta nulle - ar to nav nekā slikta.

Nulle ir tāds pats skaitlis kā pārējie, jums nevajadzētu kaut kā to diskriminēt vai pieņemt, ka, ja jūs saņemat nulli, tad jūs izdarījāt kaut ko nepareizi.

Vēl viena iezīme, kas saistīta ar iekavu atklāšanu. Lūdzu, ņemiet vērā: ja viņiem priekšā ir mīnusa zīme, mēs to noņemam, bet iekavās norādītās zīmes mainām uz pretī. Un tad mēs to varam atvērt saskaņā ar standarta algoritmiem: mēs iegūstam to, ko mēs redzējām iepriekšējos aprēķinos.

Izpratne par šo vienkāršo faktu ļaus jums izvairīties no muļķīgām un aizskarošām kļūdām vidusskolā, kad šādu darbību īstenošana tiek uzskatīta par pašsaprotamu.

Kompleksu lineāru vienādojumu risināšana

Pārejam pie sarežģītākiem vienādojumiem. Tagad konstrukcijas kļūs sarežģītākas, un dažādu pārveidojumu laikā radīsies kvadrātiskā funkcija. Tomēr no tā nevajadzētu baidīties, jo, ja saskaņā ar autora nodomu mēs atrisināsim lineāro vienādojumu, tad konversijas procesā obligāti tiks samazinātas visas monomānijas, kas satur kvadrātisko funkciju.

[12- pa kreisi (1-6x pa labi) x = 3x pa kreisi (2x-1 pa labi) + 2x ]

Acīmredzot pirmā lieta, kas jādara, ir atvērt kronšteinus. Darīsim to ļoti uzmanīgi:

[12- pa kreisi (x-6x cdot x labi) = 3x cdot 2x-3x + 2x ]

Tagad darīsim vientulību:

Acīmredzot šim vienādojumam nav risinājumu, tāpēc atbildē mēs rakstām:

[8 pa kreisi (2x-1 pa labi) -5 pa kreisi (3x + 0,8 pa labi) = x-4 ]

Mēs veicam tās pašas darbības. Pirmais solis:

[8 cdot 2x-8- pa kreisi (5 cdot 3x + 5 cdot 0,8 labi) = x-4 ]

[16x-8 pa kreisi (15x + 4 pa labi) = x-4 ]

Mēs visu ar mainīgo pārvietojam pa kreisi un bez tā - pa labi:

Acīmredzot šim lineārajam vienādojumam nav risinājuma, tāpēc mēs rakstām

vai nav sakņu.

Risinājuma nianses

Abi vienādojumi ir pilnībā atrisināti. Izmantojot šo divu izteicienu piemēru, mēs vēlreiz pārliecinājāmies, ka pat visvienkāršākajos lineārajos vienādojumos viss nevar būt tik vienkārši: var būt gan viena, gan neviena, vai bezgalīgi daudz sakņu. Mūsu gadījumā mēs izskatījām divus vienādojumus, abos vienkārši nav sakņu.

Bet es gribētu pievērst jūsu uzmanību vēl vienam faktam: kā strādāt ar iekavām un kā tos atvērt, ja priekšā ir mīnusa zīme. Apsveriet šo izteicienu:

[12- pa kreisi (1-6x pa labi) x = 3x pa kreisi (2x-1 pa labi) + 2x ]

Pirms informācijas atklāšanas jums viss jāsareizina ar "X". Lūdzu, ņemiet vērā: reizina katrs atsevišķs termins. Iekšpusē ir divi termini - attiecīgi divi termini un reizināti.

Un tikai pēc šo šķietami elementāro, bet ļoti svarīgo un bīstamo pārveidojumu pabeigšanas jūs varat atvērt kronšteinu attiecībā uz to, ka pēc tā ir mīnusa zīme. Jā, jā: tikai tagad, kad pārvērtības ir pabeigtas, mēs atgādinām, ka iekavās ir mīnus zīme, kas nozīmē, ka viss, kas atrodas apakšā, vienkārši maina zīmes. Šajā gadījumā paši kronšteini pazūd un, pats galvenais, pazūd arī priekšējais “mīnus”.

Mēs darām to pašu ar otro vienādojumu:

[8 pa kreisi (2x-1 pa labi) -5 pa kreisi (3x + 0,8 pa labi) = x-4 ]

Nav nejauši, ka es pievēršu uzmanību šiem mazajiem, šķietami nenozīmīgajiem faktiem. Tā kā vienādojumu risinājums vienmēr ir elementāru pārvērtību secība, kur nespēja skaidri un pareizi veikt vienkāršas darbības noved pie tā, ka vidusskolēni nāk pie manis un atkal mācās risināt tik vienkāršus vienādojumus.

Protams, diena pienāks, un jūs šīs prasmes padziļināsit automātikā. Jums vairs nav katru reizi jāveic tik daudz pārvērtību, jūs visi rakstīsit vienā rindā. Bet, kamēr jūs tikai mācāties, jums ir jāraksta katra darbība atsevišķi.

Risinot vēl sarežģītākus lineāros vienādojumus

To, ko mēs risināsim, ir grūti nosaukt par visvienkāršāko uzdevumu, bet nozīme paliek nemainīga.

[ pa kreisi (7x + 1 pa labi) pa kreisi (3x-1 pa labi) -21 <^<2>>=3]

Reizināsim visus elementus pirmajā daļā:

[7x cdot 3x + 7x cdot left (-1 right) +1 cdot 3x + 1 cdot left (-1 right) -21 <^<2>>=3]

Darīsim zināmu privātumu:

Veiciet pēdējo darbību:

Šeit ir mūsu galīgā atbilde. Un, neskatoties uz to, ka, risinot koeficientus ar kvadrātisko funkciju, radās, tie tomēr savstarpēji tika iznīcināti, kas vienādojumu padara lineāru, nevis kvadrātu.

[ pa kreisi (1-4x pa labi) pa kreisi (1-3x pa labi) = 6x pa kreisi (2x-1 pa labi) ]

Rūpīgi izpildīsim pirmo soli: mēs reizinām katru elementu no pirmās kronšteina ar katru elementu no otrā. Kopumā pēc pārvērtībām jāiegūst četri jauni termini:

[1 cdot 1 + 1 cdot left (-3x right) + left (-4x right) cdot 1+ left (-4x right) cdot left (-3x right) = 6x cdot 2x + 6x cdot left (-1 right) ]

Un tagad uzmanīgi veiciet reizināšanu katrā terminā:

Mēs pārvietojam nosacījumus ar "X" pa kreisi, un bez - pa labi:

Mēs sniedzam līdzīgus nosacījumus:

Mēs atkal saņēmām galīgo atbildi.

Par algebrisko summu

Pēdējā piemērā es gribētu studentiem atgādināt, kas ir algebriska summa. Klasiskajā matemātikā ar USD 1-7 $ mēs domājam vienkāršu uzbūvi: no vienības mēs atņemam septiņus. Algebrā mēs ar to domājam sekojošo: skaitlim “vienība” mēs pievienojam vēl vienu numuru, proti, “mīnus septiņi”. Tas atšķir algebrisko summu no parastās aritmētiskās.

Tiklīdz esat pabeidzis visas pārvērtības, katru saskaitīšanu un reizināšanu, jūs sākat redzēt konstrukcijas, kas ir līdzīgas iepriekš aprakstītajām, jums vienkārši nebūs nekādu problēmu algebrā, strādājot ar polinomiem un vienādojumiem.

Noslēgumā apskatīsim vēl dažus piemērus, kas būs vēl sarežģītāki nekā tie, kurus mēs tikko pārbaudījām, un, lai tos atrisinātu, mums būs nedaudz jāpaplašina mūsu standarta algoritms.

Frakciju vienādojumu risināšana

Lai atrisinātu šādas problēmas, mūsu algoritmam būs jāpievieno vēl viens solis. Bet vispirms es atgādināšu mūsu algoritmu:

  1. Izvērsiet iekavas.
  2. Atsevišķi mainīgie.
  3. Noved patīk.
  4. Sadaliet ar koeficientu.

Diemžēl šis brīnišķīgais algoritms ar visu tā efektivitāti nav pilnīgi piemērots, ja mums ir frakcijas. Un tajā, ko mēs redzēsim tālāk, mums ir frakcija abos vienādojumos pa kreisi un pa labi.

Kā šajā gadījumā strādāt? Jā, viss ir ļoti vienkārši! Lai to izdarītu, algoritmam jāpievieno vēl viens solis, ko var veikt gan pirms pirmās darbības, gan pēc tās, proti, lai atbrīvotos no frakcijām. Tādējādi algoritms būs šāds:

  1. Atbrīvojieties no frakcijām.
  2. Izvērsiet iekavas.
  3. Atsevišķi mainīgie.
  4. Noved patīk.
  5. Sadaliet ar koeficientu.

Ko nozīmē atbrīvoties no frakcijām? Un kāpēc to var izdarīt gan pēc pirmā standarta soļa, gan pirms tā? Faktiski mūsu gadījumā visas frakcijas ir skaitliskas ar saucēju, t.i. visur saucējā ir tikai cipars. Tāpēc, ja reizināsim abas vienādojuma puses ar šo skaitli, mēs atbrīvosimies no frakcijām.

Atbrīvosimies no šī vienādojuma frakcijām:

Lūdzu, ņemiet vērā: ar “četri” visi tiek reizināti vienreiz, t.i. ja jums ir divas iekavas, tas nenozīmē, ka katra no tām ir jāreizina ar “četrām”. Mēs rakstām:

[ pa kreisi (2x + 1 pa labi) pa kreisi (2x-3 pa labi) = pa kreisi (<^ <2>> -1 pa labi) cdot 4 ]

[2x cdot 2x + 2x cdot left (-3 right) +1 cdot 2x + 1 cdot left (-3 right) = 4 <^<2>>-4]

Mēs veicam mainīgā vientulību:

Mēs veicam šādu nosacījumu samazināšanu:

[- 4x = -1 pa kreisi | : pa kreisi (-4 pa labi) pa labi. ]

Mēs saņēmām galīgo risinājumu, dodieties uz otro vienādojumu.

Šeit mēs veicam visas tās pašas darbības:

[1 cdot 1 + 1 cdot 5x + left (-x right) cdot 1+ left (-x right) cdot 5x + 5 <^<2>>=5]

Tas patiesībā ir viss, ko es šodien gribēju pateikt.

Galvenie punkti

Galvenie secinājumi ir šādi:

  • Zināt lineāro vienādojumu risināšanas algoritmu.
  • Spēja atvērt iekavas.
  • Neuztraucieties, ja kaut kur jums ir kvadrātiskas funkcijas, visticamāk, turpmāko pārvērtību laikā tās tiks samazinātas.
  • Saknes lineārajos vienādojumos, pat visvienkāršākajos, ir trīs veidu: viena atsevišķa sakne, visa skaitļa līnija ir sakne, sakņu vispār nav.

Es ceru, ka šī nodarbība palīdzēs jums apgūt vienkāršu, bet ļoti svarīgu tēmu, lai turpmāk saprastu visu matemātiku. Ja kaut kas nav skaidrs, dodieties uz vietni, atrisiniet tajā sniegtos piemērus. Palieciet pie mums, jūs atradīsit daudz vairāk interesantu lietu!

Noskatieties video: Vienādojumu sistēmu rēķināšana (Aprīlis 2020).

Pin
Send
Share
Send
Send