Noderīgi padomi

Diferenciālvienādojums

Pin
Send
Share
Send
Send


Tagad, kad esat iemācījušies atrast atvasinājumus un integrāļus, ir pienācis laiks pāriet pie sarežģītākas tēmas: diferenciālvienādojumu (tie ir difuāri, difuāri un diff.ura :)) risināšanas, tas ir, vienādojumi, kas kopā ar pašu funkciju (un / vai argumentu) satur atvasinājumu vai pat vairākus.

Kā tā atrisināt diferenciālvienādojumus? Galvenais, kas nepieciešams, ir a) spēja pareizi noteikt diferenciālvienādojuma veidu un b) spēja labi integrēties ir būtiska darba sastāvdaļa.

Šajā sadaļā jūs atradīsit atrisinātās diferenciālvienādojumu sastādīšanas un risināšanas problēmas. Jūsu ērtībām ērtāk tiek piedāvāti difūru risinājumu piemēri un sakārtoti pēc tēmām - pētiet, meklējiet līdzīgus, risiniet pats. Ja jums nepieciešama palīdzība uzdevumu izpildē, dodieties uz sadaļu: diferenciālvienādojumu testi

Pirmās kārtas diferenciālvienādojumu risinājumi

3. uzdevums. Atrodiet vispārīgu risinājumu pirmās kārtas lineāram diferenciālvienādojumam $ xy '+ x ^ 2 + xy-y = 0. $

4. uzdevums. Atrisiniet viendabīgo diferenciālvienādojumu $ y '= - y / x quad (x ne 0)

5. uzdevums. Atrisiniet diferenciālvienādojumu $ (y ^ 4-2x ^ 3y) dx + (x ^ 4-2xy ^ 3) dy = 0. $

6. uzdevums. Atrisiniet viendabīgo diferenciālvienādojumu $ (2x + y + 1) dx + (x + 2y-1) dy = 0. $

7. uzdevums. Atrisiniet pirmās kārtas lineāro diferenciālvienādojumu $ y'-2xy = 3x ^ 2-2x ^ 4. $

8. uzdevums. Atrisiniet diferenciālvienādojumu $ (x + y ^ 2) y '= y-1. $

Cauchy problēmas risinājums tālvadībai

9. uzdevums. Atrisiniet diferenciālvienādojumu ar atdalāmiem mainīgiem $ (1 + x ^ 2) dy-2xydx = 0. $ Atrodiet konkrētu risinājumu, kas atbilst sākotnējam nosacījumam $ y (0) = 1 $.

10. uzdevums. Atrisiniet Cauchy problēmu otrās kārtas diferenciālvienādojumam $ 2y y '' +1 = (y ') ^ 2, , y (1/3) = 1, , y' (1/3) = 2 $.

11. uzdevums. Atrodiet Cauchy problēmas risinājumu diferenciālvienādojumam $$ y '= frac <2y-x> <2x + y>, y (1) = 1. $ $

12. uzdevums. Atrisiniet Kaučija problēmu trešās kārtas diferenciālvienādojumam $$ y '' '= x + cos x, quy y (0) = 0, y' (0) = 0, y '' (0) = 0. $ $

Otrās kārtas diferenciālvienādojumu risinājumi

13. uzdevums. Atrisiniet otrās kārtas diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem $ y '' + 4y '+ 4y = xe ^ <2x>. $

14. uzdevums. Atrisiniet Kaučija problēmu otrās kārtas diferenciālvienādojumam ar nemainīgiem koeficientiem ar variācijas metodi: $$ y '' - 3y '= frac <9e ^ <-3x>> <3 + e ^ <-3x>>, quad y (0) = 4 ln 4, y '(0) = 3 (3 ln 4-1). $ $

Diferenciālvienādojumu problēmu risināšana

15. uzdevums. Apsildāmā ķermeņa dzesēšanas ātrums ir proporcionāls temperatūras starpībai starp ķermeni un apkārtējo vidi. 10 minūtēs ķermenis atdzisis no 100 līdz 60 grādiem. Barotnes temperatūra ir nemainīga un vienāda ar 20 grādiem. Kad ķermenis atdzisīs līdz 25 grādiem?

16. uzdevums. Motorlaiva pārvietojas mierīgā ūdenī ar ātrumu 5 m / s. Pilnā ātrumā viņas motors izslēdzas un pēc 40 sekundēm pēc tam laivas ātrums samazinās līdz 2 m / s. Nosaka laivas ātrumu 2 minūtes pēc motora apstāšanās, pieņemot, ka ūdens pretestība ir proporcionāla laivas ātrumam.

Saturs

Diferenciālā vienādojuma secība - tajā ietverto atvasinājumu augstākā secība.

Ja diferenciālvienādojums ir polinoms attiecībā pret augstāko atvasinājumu, tad šī polinoma pakāpi sauc diferenciālvienādojuma pakāpe. Tā, piemēram, vienādojums (y ″) 4 + y ′ + y 6 + x 7 = 0 < displaystyle (y '') ^ <4> + y '+ y ^ <6> + x ^ <7> = 0 > ir otrās kārtas, ceturtās pakāpes vienādojums.

Visus diferenciālvienādojumus var iedalīt parasts (ODE), kas no viena argumenta ietver tikai funkcijas (un to atvasinājumus), un daļējie diferenciālvienādojumi (URCHP), kurā ievades funkcijas ir atkarīgas no daudziem mainīgajiem. Ir arī stohastiskie diferenciālvienādojumi (SDE), ieskaitot izlases procesus.

Atkarībā no atvasinājumu, funkciju, neatkarīgo mainīgo kombinācijām diferenciālvienādojumus sadala lineāros un nelineāros, ar nemainīgiem vai mainīgiem koeficientiem, viendabīgiem vai nehomogēniem. Pielietojuma nozīmīguma dēļ kvazilinārie (lineāri attiecībā uz augstākiem atvasinājumiem) daļējie diferenciālvienādojumi tiek izdalīti atsevišķā klasē.

Svarīgākais diferenciālvienādojumu jautājums ir to risinājuma esamība un unikalitāte. Šī jautājuma risinājumu dod esamības un unikalitātes teorēmas, kas norāda uz nepieciešamajiem un pietiekamajiem apstākļiem. Parastajiem diferenciālvienādojumiem šādus nosacījumus formulēja Lipschitz (1864). Daļējiem diferenciālvienādojumiem atbilstošo teorēmu pierādīja S. V. Kovalevskaja (1874).

Diferenciālvienādojumu risinājumi ir sadalīti vispārīgos un īpašos risinājumos. Vispārējie risinājumi ietver nenoteiktas konstantes un daļējiem diferenciālvienādojumiem - neatkarīgu mainīgo patvaļīgas funkcijas, kuras var uzlabot no papildu integrācijas nosacījumiem (sākotnējie apstākļi parastajiem diferenciālvienādojumiem, sākotnējie un robežnosacījumi daļējiem diferenciālvienādojumiem). Pēc šo pastāvīgo un nenoteikto funkciju veida noteikšanas risinājumi kļūst privāti.

Parasto diferenciālvienādojumu risinājumu meklēšana ļāva izveidot speciālo funkciju klasi - funkcijas, kuras bieži sastopamas lietojumprogrammās, kuras netiek izteiktas ar zināmajām pamata funkcijām. To īpašības tika detalizēti izpētītas, sastādītas nozīmju tabulas, noteiktas savstarpējās attiecības utt.

Diferenciālvienādojumu teorijas attīstība dažos gadījumos ļāva atteikties no pētāmo funkciju nepārtrauktības prasības un ieviest vispārinātus diferenciālvienādojumu risinājumus.

Noskatieties video: Diferenciālvienādojums (Marts 2020).

Pin
Send
Share
Send
Send